Excel EXP, LN & LOG — Logarithmen, Wachstumsraten und die Falle der Standardbasis

Kurzfassung — Exponential- und Logarithmusfunktion sind dieselbe Beziehung, nur in entgegengesetzter Richtung gelesen. EXP(x) liefert e hoch x (kontinuierliches Wachstum vorwärts). Ein Logarithmus läuft rückwärts — er löst nach dem Exponenten auf: LN(x) ist der natürliche Logarithmus (Basis e), LOG10(x) ist Basis 10, und LOG(x; [Basis]) lässt Sie wählen — standardmäßig Basis 10, nicht der natürliche Logarithmus. Genau diese Standardeinstellung ist die Falle, die jeden, der aus Mathematik oder Code kommt, klammheimlich aufs falsche Bein stellt. Logarithmen von null oder negativen Zahlen ergeben #ZAHL!. Die zwei Formeln, die man auswendig können sollte: geometrisches Mittel = EXP(MITTELWERT(LN(Bereich))) und Perioden bis zum Ziel = LN(Ziel)/LN(Rate).

=EXP(1)              ' -> 2,71828...   e, die Wachstumskonstante
=LN(2,71828)         ' -> 1            der natürliche Logarithmus macht EXP rückgängig
=LOG10(1000)         ' -> 3            Basis 10
=LOG(8; 2)           ' -> 3            „2 hoch wie viel ergibt 8?"
=LOG(100)            ' -> 2            KEINE Basis = Basis 10, NICHT natürlicher Logarithmus

Potenzen treiben eine Zahl vorwärts; Logarithmen stellen die umgekehrte Frage — welcher Exponent hat mich hierher gebracht? Für die meisten Tabellen-Anwender verdient sich diese Familie ihren Platz mit genau zwei Finanzaufgaben: Wachstumsraten ehrlich mitteln und „wie lange, bis …" auflösen. Verinnerlichen Sie die Umkehrbeziehung und den Stolperstein der Standardbasis, und der Rest ergibt sich von selbst.

Was Sie lernen werden

Das mentale Modell: ein Logarithmus ist ein nach dem Exponenten aufgelöstes Potenzieren
Die drei Logarithmen — LN, LOG10, LOG — und welche Basis jeder verwendet
Die Falle der Standardbasis: LOG(x) ist Basis 10, nicht der natürliche Logarithmus
Warum LN(0) und LOG(-5) #ZAHL! ergeben — den Definitionsbereich absichern
Die zwei Formeln, auf die es ankommt: geometrisches Mittel und Jahre bis zum Ziel

Das mentale Modell: ein Logarithmus ist eine rückwärts aufgelöste Potenz

POTENZ und EXP beantworten eine Vorwärtsfrage: Hier starten, so lange mit dieser Rate wachsen — wo lande ich? Ein Logarithmus beantwortet die Gegenrichtung: Ich bin hier gelandet — welcher Exponent hat mich von der Basis zu diesem Wert gebracht?

=POTENZ(2; 3)   ' -> 8    vorwärts: 2 hoch 3
=LOG(8; 2)      ' -> 3    rückwärts: 2 hoch WIE VIEL ergibt 8?

Das ist die ganze Idee. EXP und LN sind exakte Umkehrungen voneinander — jede macht die andere rückgängig — und das ist die Mechanik hinter jedem praktischen Einsatz weiter unten:

=LN(EXP(5))     ' -> 5
=EXP(LN(5))     ' -> 5

Wenn POTENZ der Vorwärtsgang ist, sind LN/LOG der Rückwärtsgang. Wo POTENZ Ihnen die CAGR lieferte, wenn Sie die Jahre kannten und die Rate wollten, liefert ein Logarithmus Ihnen die Jahre, wenn Sie die Rate kennen und ihre Anzahl wollen. Dieselbe Beziehung, andere Unbekannte.

Drei Logarithmen — und welche Basis jeder verwendet

Excel liefert drei Logarithmusfunktionen mit, und das Einzige, was Sie im Kopf behalten müssen, ist die Basis, die jede annimmt:

=LN(x)          ' natürlicher Logarithmus — Basis e (2,71828...)
=LOG10(x)       ' Basis 10, fest
=LOG(x)         ' standardmäßig Basis 10, wenn keine Basis angegeben ist
=LOG(x; Basis)  ' jede Basis, die Sie angeben — LOG(8;2) = 3

LN ist eindeutig (immer Basis e). LOG10 ist eindeutig (immer Basis 10). Die flexible ist LOG, und in ihrer Flexibilität wohnt genau die Falle.

Die Falle der Standardbasis: `LOG(x)` ist Basis 10, nicht der natürliche Logarithmus

In der Mathematik und in den meisten Programmiersprachen meint log ohne Basis üblicherweise den natürlichen Logarithmus. In Excel ist das nicht so:

=LOG(100)          ' -> 2      Basis 10:  10^2 = 100
=LN(100)           ' -> 4,605  natürlicher Logarithmus, Basis e
=LOG(100; EXP(1))  ' -> 4,605  natürlicher Logarithmus, über LOG ausgeschrieben

Regel: LOG mit einem Argument ist Basis 10. Wollen Sie den natürlichen Logarithmus, nutzen Sie LN — niemals ein nacktes LOG. Diese Verwechslung liefert eine plausible Zahl, keinen Fehler, sodass ein aus einem Lehrbuch oder einem Python-Skript übernommenes Modell klammheimlich um einen konstanten Faktor daneben liegen kann (etwa 2,303×, das Verhältnis zwischen den beiden Basen). Im Zweifel schreiben Sie die Basis ausdrücklich hin und räumen jede Mehrdeutigkeit aus: LOG(x; 10) oder LOG(x; EXP(1)).

Definitionsfehler: `LN(0)` und Logarithmen negativer Zahlen ergeben #ZAHL!

Logarithmen sind nur für positive Zahlen definiert, also liefert Excel bei null oder negativen Eingaben #ZAHL!:

=LN(0)      ' -> #ZAHL!
=LOG(-5)    ' -> #ZAHL!
=LN(-3)     ' -> #ZAHL!

Das schlägt in der Praxis zu, wenn Sie eine Datenspalte logarithmisch transformieren — für eine Diagrammachse, eine Wachstumsrechnung oder eine Regression — und eine einzelne null oder negative Zahl im Bereich sitzt. Sichern Sie den Definitionsbereich vor der Transformation ab, indem Sie etwa den Bereich filtern oder mit =WENN(x>0; LN(x); NV()) prüfen, sodass die schlechte Zeile sichtbar wird, statt die ganze Berechnung abstürzen zu lassen. Es ist dieselbe Definitionsbereichs-Disziplin, mit der WURZEL im Leitfaden POTENZ & WURZEL negative Zahlen zurückweist.

Die zwei Formeln, auf die es wirklich ankommt

Streichen Sie die wissenschaftlichen Anwendungen, und fast jeder betriebliche Bedarf für diese Familie schrumpft auf zwei Formeln. Prägen Sie sich diese ein, und Sie haben 95 % des Nutzens im Sack.

1. Geometrisches Mittel — Wachstumsraten ehrlich mitteln. Ein schlichter MITTELWERT jährlicher Wachstumsraten überzeichnet die zusammengesetzte Leistung. Das geometrische Mittel korrigiert das, und der Logarithmus-Weg ist die robuste Art, es über einen Bereich zu berechnen:

=EXP(MITTELWERT(LN(Wachstumsfaktoren)))    ' geometrisches Mittel der Faktoren
' Faktoren wie 1,10; 0,95; 1,20  (ein Lauf mit +10 %, -5 %, +20 %)

Es funktioniert, weil Logarithmen aus Multiplikation Addition machen: die Logarithmen mitteln und dann per EXP zurückrechnen ist dasselbe wie die n-te Wurzel aus dem Produkt zu ziehen — ein geometrisches Mittel ohne sperrigen Produktterm. (Excel hat auch eine GEOMITTEL-Funktion; die Logarithmus-Form ist es wert, sie zu kennen, weil sie sich mit FILTER, Gewichten und Bedingungen kombinieren lässt.)

2. Perioden bis zu einem Ziel — „wie lange, bis …". Wenn Sie eine Rate kennen und die Anzahl der Perioden bis zum Erreichen eines Ziels wollen, reicht der Logarithmus sie Ihnen direkt:

=LN(2) / LN(1,07)                ' -> 10,24   Jahre bis zur Verdopplung bei 7 %
=LOG(2; 1,07)                    ' -> 10,24   dasselbe Ergebnis, LOG mit expliziter Basis
=LN(Ziel/Start) / LN(1 + Rate)   ' allgemeine Form

Das ist die exakte Umkehrung der CAGR-Formel aus dem Leitfaden POTENZ: Dort kannten Sie die Perioden und lösten nach der Rate auf; hier kennen Sie die Rate und lösen nach den Perioden auf. Ein weiterer Logarithmus, der Erwähnung verdient — die Log-Rendite, =LN(P1/P0), die stetig verzinste Rendite, die sich über Perioden sauber aufsummiert, weshalb die quantitative Finanzwelt sie der einfachen prozentualen Veränderung vorzieht.

Worauf es ankommt

Für die tägliche Tabellenarbeit behandeln Sie diese Familie als zwei Werkzeuge mit einem Warnhinweis. Die zwei Werkzeuge sind das geometrische Mittel (EXP(MITTELWERT(LN(...)))) und das Auflösen nach der Periodenzahl (LN(Ziel)/LN(Rate)); greifen Sie zu ihnen, sobald „durchschnittliches Wachstum" oder „wie viele Perioden" auftaucht, und den Rest brauchen Sie selten. Der Warnhinweis ist die Standardbasis: Schreiben Sie nie ein nacktes LOG, wenn Sie den natürlichen Logarithmus meinen — nutzen Sie LN oder nennen Sie die Basis. Alles andere (logarithmische Skalen, Dezibel, Entropie) ist echte Wissenschaft, und wer das tut, weiß ohnehin schon, welche Basis er braucht.

Wie ExcelMaster hilft

Die Falle der Standardbasis ist genau die Sorte stiller Fehler, die jede Sichtprüfung übersteht — die Zahlen wirken vernünftig, sie sind nur falsch skaliert. Bitten Sie ExcelMaster um „das geometrische Mittel dieser Jahresrenditen", und es schreibt korrekt EXP(MITTELWERT(LN(...))) (oder GEOMITTEL), nicht einen naiven MITTELWERT, der das Ergebnis überzeichnet. Fragen Sie „wie viele Jahre bis zur Verdopplung bei 7 %?", und es erzeugt LN(2)/LN(1,07) mit durchgängig richtiger Basis. Und wenn Sie sagen „bilde den natürlichen Logarithmus dieser Spalte", greift es zu LN — niemals einem nackten LOG — und sichert die Nullen und negativen Werte ab, die sonst #ZAHL! ergäben.

Häufig gestellte Fragen

Was macht die EXP-Funktion in Excel?

=EXP(x) liefert die Konstante e (≈2,71828) erhoben in die Potenz x. =EXP(1) ergibt e selbst; =EXP(0) ergibt 1. Es modelliert kontinuierliches exponentielles Wachstum und ist die exakte Umkehrung des natürlichen Logarithmus, sodass =EXP(LN(x)) wieder x liefert.

Was ist der Unterschied zwischen LN und LOG in Excel?

=LN(x) ist der natürliche Logarithmus, immer zur Basis e. =LOG(x) verwendet Basis 10, wenn keine Basis angegeben ist, und =LOG(x; Basis) lässt Sie jede Basis wählen. LN und ein nacktes LOG sind also nicht dasselbe — für einen natürlichen Logarithmus nutzen Sie immer LN, nicht LOG.

Warum liefert LOG ein anderes Ergebnis als erwartet?

Fast immer liegt es an der Basis. In Excel ist =LOG(x) ohne zweites Argument Basis 10, während log in der Mathematik und vielen Programmiersprachen den natürlichen Logarithmus (Basis e) meint. Nutzen Sie =LN(x) für den natürlichen Logarithmus oder geben Sie die Basis ausdrücklich an, z. B. =LOG(x; 2) oder =LOG(x; EXP(1)).

Wie berechne ich in Excel ein geometrisches Mittel mit Logarithmen?

Nutzen Sie =EXP(MITTELWERT(LN(Bereich))), wobei der Bereich Wachstumsfaktoren enthält (etwa 1,10 für +10 %). Die natürlichen Logarithmen zu mitteln und wieder zu exponenzieren ergibt das geometrische Mittel — die korrekte Art, zusammengesetzte Raten zu mitteln. Excel hat außerdem eine eigene GEOMITTEL-Funktion.

Warum erhalte ich #ZAHL! von LN oder LOG in Excel?

Logarithmen sind nur für positive Zahlen definiert, also liefern =LN(0), =LN(-3) und =LOG(-5) allesamt #ZAHL!. Prüfen Sie den Bereich vor dem logarithmischen Transformieren auf Nullen oder negative Werte — zum Beispiel mit =WENN(x>0; LN(x); NV()), um schlechte Zeilen sichtbar zu machen, statt die Berechnung abstürzen zu lassen.

Getestet in

Getestet in: Excel 365 (Windows 11) – zuletzt geprüft am 10.07.2026.

Verwandte Leitfäden: Excel POTENZ & WURZEL · Excel ABS & VORZEICHEN · Excel RUNDEN · Excel SUMMENPRODUKT