Excel Fakultät (FAKULTÄT) — n!, ZWEIFAKULTÄT & POLYNOMIAL (und der 171!-Überlauf)

Kurzfassung — =FAKULTÄT(n) liefert n Fakultät — n × (n−1) × … × 1 — und zählt, auf wie viele Arten Sie n verschiedene Dinge der Reihe nach anordnen können. =FAKULTÄT(5) ist 120. Zwei Tatsachen retten Sie jedes Mal: FAKULTÄT(0) ist 1 (es gibt genau eine Art, nichts anzuordnen), und Fakultäten explodieren — FAKULTÄT(170) ist eine 307-stellige Zahl, und FAKULTÄT(171) läuft in Excel über und liefert #ZAHL!. ZWEIFAKULTÄT überspringt jeden zweiten Faktor; POLYNOMIAL behandelt Anordnungen mit wiederholten Gruppen. FAKULTÄT ist der Grundbaustein unter KOMBINATIONEN und VARIATIONEN.

=FAKULTÄT(5)          ' 5×4×3×2×1 -> 120
=FAKULTÄT(0)          ' per Definition -> 1
=FAKULTÄT(171)        ' zu groß für Excel -> #ZAHL!  (170! ist die Obergrenze)
=ZWEIFAKULTÄT(7)      ' 7×5×3×1 -> 105
=POLYNOMIAL(2;3;4)    ' 9! / (2!·3!·4!) -> 1260

Die meisten Seiten definieren FAKULTÄT in einer Zeile — „liefert die Fakultät einer Zahl" — und zeigen =FAKULTÄT(5). Das ist der leichte Teil. Woran die Leute tatsächlich hängenbleiben, ist wozu eine Fakultät gut ist, warum FAKULTÄT(0) eine 1 statt einer 0 liefert und warum eine so bescheiden aussehende Eingabe wie 171 plötzlich einen Fehler wirft. Verstehen Sie zuerst die Bedeutung, und all das hört auf, überraschend zu sein.

Was Sie lernen werden

Das mentale Modell: eine Fakultät zählt die Anordnungen verschiedener Objekte
Warum =FAKULTÄT(0) gleich 1 ist, nicht 0 — und warum diese Konvention zählt
Warum =FAKULTÄT(171) #ZAHL! liefert und 170! Excels harte Obergrenze ist
Wie FAKULTÄT Dezimalstellen abschneidet und negative Zahlen zurückweist
ZWEIFAKULTÄT (Produkte, die einen Faktor überspringen) und POLYNOMIAL (gruppierte Anordnungen)
Warum FAKULTÄT das Atom ist, aus dem KOMBINATIONEN und VARIATIONEN gebaut sind

Das mentale Modell: eine Fakultät zählt Anordnungen

FAKULTÄT(n) ist kein abstrakter Mathe-Trick — sie beantwortet eine konkrete Frage: in wie vielen verschiedenen Reihenfolgen kann ich n verschiedene Dinge anordnen? Stellen Sie 3 Bücher in ein Regal, und es gibt 3! = 3×2×1 = 6 mögliche Reihenfolgen. Nehmen Sie ein viertes Buch dazu, sind es 4! = 24. Jedes neue Objekt multipliziert die Anzahl mit der Zahl der Positionen, die es einnehmen könnte — deshalb ist die Formel ein laufendes Produkt: n × (n−1) × (n−2) × … × 1.

Dieses Bild vom „laufenden Produkt" ist der rote Faden, der diese ganze Familie zusammenhält. Eine Fakultät ist nichts weiter als ein PRODUKT eines Countdowns. Kombinationen und Variationen sind Verhältnisse zweier solcher Produkte. Sehen Sie die Fakultät erst einmal als Multiplikation, die klein beginnt und rasch anschwillt, folgen sowohl ihre Stärke als auch ihr Fehlerbild (sie wird riesig) ganz natürlich.

Warum FAKULTÄT(0) gleich 1 ist, nicht 0

Das sieht wie ein Bug aus und ist in Wahrheit der Dreh- und Angelpunkt des ganzen Systems:

=FAKULTÄT(0)   ' -> 1

Es gibt genau eine Art, eine leere Menge anzuordnen — die leere Anordnung —, also ist 0! als 1 definiert, nicht als 0. Über die Intuition „eine Art, nichts anzuordnen" hinaus ist es diese Konvention, die die Formeln für Kombinationen und Variationen an ihren Rändern funktionieren lässt: KOMBINATIONEN(n; n) (alle auswählen) muss gleich 1 sein, und die Fakultätsformel liefert das nur, wenn 0! = 1 gilt. Würde FAKULTÄT(0) eine 0 liefern, bekämen Sie überall dort eine Division durch null, wo diese Formeln an eine Grenze stoßen. Die „seltsame" Antwort ist also genau die Antwort, die alles Übrige konsistent hält — merken Sie sie sich als Regel, nicht als Kuriosität.

Die Überlauf-Obergrenze: FAKULTÄT(171) ist #ZAHL!

Fakultäten wachsen schneller als fast alles andere, was Sie in eine Zelle tippen werden, und das hat eine harte Konsequenz:

=FAKULTÄT(170)   ' -> 7,257...E+306   (eine 307-stellige Zahl, noch in Ordnung)
=FAKULTÄT(171)   ' -> #ZAHL!          (jenseits von Excels größter Zahl)

Excels größte darstellbare Zahl liegt bei etwa 1,8×10³⁰⁸. FAKULTÄT(170) quetscht sich gerade noch darunter; FAKULTÄT(171) schießt darüber hinaus und liefert #ZAHL! — den Fehler „Zahl außerhalb des Bereichs". 170! ist die größte Fakultät, die Excel berechnen kann, Punkt. Füttern Sie FAKULTÄT in eine Wahrscheinlichkeitsformel und sehen ein #ZAHL!, liegt es meist daran: Eine Zwischen-Fakultät ist übergelaufen, obwohl das Endergebnis (ein Verhältnis) klein gewesen wäre. Genau dieses Problem lösen KOMBINATIONEN und VARIATIONEN — sie berechnen das Verhältnis, ohne die riesigen Fakultäten je auszurechnen. Greifen Sie zu ihnen, statt =FAKULTÄT(n)/FAKULTÄT(n-k) von Hand zu bauen.

Dezimalstellen und negative Zahlen

Zwei kleinere Regeln runden das Verhalten von FAKULTÄT ab:

=FAKULTÄT(5,9)   ' schneidet auf 5 ab -> 120   (nicht auf 6 gerundet)
=FAKULTÄT(-1)    ' Fakultäten sind für negative Zahlen nicht definiert -> #ZAHL!

Eine nicht ganzzahlige Eingabe wird abgeschnitten, nicht gerundet — FAKULTÄT(5,9) verwendet 5, nicht 6. Und Fakultäten haben für negative Zahlen keine Bedeutung, also liefert jedes negative Argument #ZAHL!. (Die vollständige „verallgemeinerte Fakultät" für nicht ganzzahlige Werte ist die Gammafunktion, die Excel separat als GAMMA / GAMMALN bereitstellt; FAKULTÄT selbst arbeitet nur mit ganzen Zahlen.)

ZWEIFAKULTÄT: jeden zweiten Faktor überspringen

ZWEIFAKULTÄT berechnet die doppelte Fakultät — das Produkt, das auf dem Weg nach unten jede zweite Zahl überspringt:

=ZWEIFAKULTÄT(7)   ' 7×5×3×1 -> 105   (ungerades n: nur ungerade Zahlen)
=ZWEIFAKULTÄT(8)   ' 8×6×4×2 -> 384   (gerades n: nur gerade Zahlen)
=ZWEIFAKULTÄT(0)   ' -> 1

Bei ungeradem n multipliziert sie die ungeraden Zahlen hinab bis 1; bei geradem n die geraden Zahlen hinab bis 2. Sie taucht in der Kombinatorik und in bestimmten Formeln aus Physik und Statistik auf (etwa in Integralen von Sinus- und Cosinuspotenzen). Oft brauchen Sie sie nicht, aber wenn eine Formel nach n!! verlangt — zwei Ausrufezeichen, die doppelte Fakultät —, ist dies die Funktion, nicht FAKULTÄT(FAKULTÄT(n)).

POLYNOMIAL: Anordnungen mit wiederholten Gruppen

POLYNOMIAL beantwortet eine feinere Zählfrage: Auf wie viele unterscheidbare Arten lassen sich Objekte anordnen, wenn einige identisch sind? Ihre Formel ist die Fakultät der Summe der Argumente, geteilt durch das Produkt der Fakultäten jedes einzelnen Arguments:

=POLYNOMIAL(2; 3; 4)   ' (2+3+4)! / (2!·3!·4!) = 9!/288 -> 1260

Der klassische Einsatz ist das Zählen der Anordnungen eines Wortes mit wiederholten Buchstaben oder das Aufteilen von n Objekten in Gruppen fester Größe. Die Buchstaben eines 9-buchstabigen Wortes anzuordnen, das aus einem zweimal, einem dreimal und einem viermal wiederholten Buchstaben besteht, ergibt 1260 unterscheidbare Reihenfolgen — weit weniger als 9! = 362880, weil das Vertauschen zweier identischer Buchstaben keine neue Anordnung erzeugt. POLYNOMIAL baut diese Division für Sie ein.

Wo FAKULTÄT hineinpasst: das Atom des Zählens

Alles in Excels Kombinatorik-Werkzeugkasten lässt sich auf Fakultäten zurückführen:

VARIATIONEN(n; k) = n! / (n−k)! — geordnete Anordnungen von k aus n.
KOMBINATIONEN(n; k) = n! / (k!·(n−k)!) — ungeordnete Auswahlen.

Beide sind Verhältnisse von Fakultäten, und genau deshalb sollten Sie diese Funktionen die Rechnung erledigen lassen, statt FAKULTÄT-Aufrufe selbst zu dividieren: Sie umgehen den Überlauf, auf den ein nacktes FAKULTÄT(n) bei 171 trifft. Denken Sie an FAKULTÄT als das Atom und an KOMBINATIONEN/VARIATIONEN als die daraus gebauten Moleküle — der Leitfaden zu KOMBINATIONEN & VARIATIONEN setzt genau dort an.

Wie ExcelMaster hilft

Fakultäten sind leicht aufzurufen und leicht falsch anzuwenden — ein #ZAHL! aus einer übergelaufenen Zwischenrechnung oder eine Wahrscheinlichkeit, die daneben liegt, weil 0! irgendwo weiter vorne falsch behandelt wurde. Fragen Sie ExcelMaster „auf wie viele Arten kann ich diese 8 Objekte anordnen?", und es liefert =FAKULTÄT(8) samt Antwort und Begründung. Fragen Sie „warum liefert meine Wahrscheinlichkeitsformel #ZAHL!?", und es erkennt die übergroße Fakultät und schreibt den Ausdruck mit KOMBINATIONEN um, damit die riesige Zwischengröße gar nicht erst entsteht.

Häufig gestellte Fragen

Wie berechne ich in Excel eine Fakultät?

Nutzen Sie FAKULTÄT: =FAKULTÄT(5) liefert 120 (also 5×4×3×2×1). Sie nimmt auch einen Zellbezug — =FAKULTÄT(A1). Die Eingabe muss eine nicht negative Zahl sein; Dezimalstellen werden auf die nächstkleinere ganze Zahl abgeschnitten, und negative Werte liefern #ZAHL!.

Warum liefert FAKULTÄT(0) in Excel 1?

Weil 0! in der Mathematik als 1 definiert ist — es gibt genau eine Art, null Objekte anzuordnen (die leere Anordnung). Die Konvention hält außerdem die Formeln für Kombinationen und Variationen an ihren Rändern konsistent, wo sie sonst durch null teilen würden. Dass =FAKULTÄT(0) eine 1 liefert, ist korrekt, kein Bug.

Warum liefert FAKULTÄT einen #ZAHL!-Fehler?

Zwei häufige Gründe: Die Eingabe ist negativ (Fakultäten sind für negative Zahlen nicht definiert), oder das Ergebnis ist zu groß — Excel kann keine Zahl größer als etwa 1,8×10³⁰⁸ darstellen, also laufen =FAKULTÄT(171) und höher zu #ZAHL! über. Die größte Fakultät, die Excel berechnen kann, ist 170!. Brauchen Sie nur ein Verhältnis von Fakultäten, nutzen Sie KOMBINATIONEN oder VARIATIONEN, um den Überlauf zu vermeiden.

Was ist der Unterschied zwischen FAKULTÄT und ZWEIFAKULTÄT?

FAKULTÄT(n) multipliziert jede ganze Zahl von n hinab bis 1 (n!). ZWEIFAKULTÄT(n) überspringt jede zweite — die doppelte Fakultät n!! —, also ist ZWEIFAKULTÄT(7) gleich 7×5×3×1 = 105 und ZWEIFAKULTÄT(8) gleich 8×6×4×2 = 384. Nutzen Sie ZWEIFAKULTÄT nur, wenn eine Formel ausdrücklich n!! verlangt.

Was macht POLYNOMIAL?

POLYNOMIAL(a; b; c; …) liefert (a+b+c+…)! geteilt durch a!·b!·c!·…. Sie zählt die unterscheidbaren Anordnungen von Objekten, die in Gruppen dieser Größen aufgeteilt sind — nützlich für Wörter mit wiederholten Buchstaben oder das Aufteilen von Objekten in Gruppen fester Größe. =POLYNOMIAL(2;3;4) liefert 1260.

Getestet in

Getestet in: Excel 365 (Windows 11) – zuletzt geprüft am 26.07.2026.